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デザインにも関数が使われている?貴金属比とは

2023年11月04日

みなさんは黄金比という比率をご存じですか?
黄金比はアップルのロゴやモナリザ、パルテノン神殿など昔からよく使われている比率で、この比率を使うとデザインが美しくなるという特徴があります。
今回はこの黄金比等の貴金属比を紹介します。

 

(前回の記事はこちら→これが解ければあなたも億万長者に!コラッツ予想を証明して1億円もらおう! )

 

黄金比とは

黄金比は1:(1+√5)/2の比のことで、およそ1:1.618すなわち5:8です。この(1+√5)/2は、オウム貝の螺旋やヒマワリの種の並び方など、自然界によく見られるフィボナッチ数列という数列から来ています。

 

フィボナッチ数列は1,1,2,3,5,8,13,21,34・・・のように、前2つの数字を足した数という規則の数列です。(例えば5+8=13, 13+21=34)
この数列の前後の比が黄金比に収束します。

実際、13:21=1:1.615、21:34=1:1.619となり、黄金比の値に近づいていることがわかります。

黄金比を2次方程式で表すと

この黄金比を1つの解とする2次方程式を作ってみましょう。

 

(1+√5)/2を1つの解とすると、解の公式の関係からもう1つの解は(1−√5)/2とわかります。
これを解とする2次方程式は{x−(1+√5)/2}{(x+(1+√5)/2)}=0で、これを展開するとx^2−x−1=0となり、方程式として表すこともできます。(x^2はxの二乗という意味です)

黄金比の親戚、「貴金属比」

この方程式を少し応用してみましょう。xの係数を−2にするとx^2−2x−1=0で、これを解くと1+√2となり、およそ2.414になります。

 

この1:2.414は白銀比と呼ばれています。実は日本でも、古くから大工の間で大和比と言う1:√2はよく使われており、法隆寺や伊勢神宮の建設で使われてきました。

当時はまだ日本にはルートという概念はありませんでしたが、正方形の対角線の長さを使えば、ルートを知らなくても簡単に√2を作図することは可能でした。現在ではA4用紙などのコピー用紙の縦横比が大和比になっています。

他にもx^2−3x−1=0の解の青銅比(1:3.301)1:√3の白金比(1:1.732)1:(3+√5)/2の第2黄金比(1:2.618)があり、どれも均整の取れた美しい比率になっています。これらの金属の名前が付いた比率のことをまとめて貴金属比といいます。

まとめ

いかがだったでしょうか。貴金属比は現在でも建築はもちろん、ロゴやイラスト、キャラクターの画像等に活用されています。特に黄金比が使われたロゴや画像はたくさんありますので、興味のある方は調べてみてください。

 

(山梨市駅前校 R・G先生)

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