みなさんは「フェルマーの最終定理」を知っていますか？

1670年に数学の天才フェルマーが残した文書から見つかった定理で、

xn+yn=znとなる自然数x,y,zは存在しない

というものです。この定理は長らく証明されなかったため懸賞金が掛けられていました。その額は現在の価値にして200万ドルでした。これを1995年、アンドリュー・ワイルズさんらによって証明されました。

他にも懸賞金が掛けられている問題はいくつかあります。

その1つとして「コラッツ予想」というものがあります。コラッツ予想の内容は以下の通りです。

以下の操作を繰り返せば、どんな正の整数も1になる。
①もしその値が偶数なら2で割る。
②もしその値が奇数の場合は3倍して1を足す

例えば13の場合
13×3+1＝40
40÷2＝20
20÷2＝10
10÷2＝5
5×3+1＝16
16÷2＝8
8÷2＝4
4÷2＝2
2÷1＝1

このように、最終的に1になります。

このことがすべての正の整数について成り立つかどうかを証明する問題になっています。ちなみにこの問題には現在、1億2000万円の懸賞金が掛けられています。

13の例を見ると、後半は2のべき乗になっています（16＝24）。よってこの操作を行うと、どんな数も2ｎに収束するのではないかと私は考えています。ただこのことを証明するのは非常に難しいです。正の整数は無限に存在していますので、そのすべてを1つ1つ確認していっても証明したことにはなりません。

ただし、反例を示せれば証明することも可能です。

例えば、1769年に天才数学者のオイラーは、

x4+y4+z4= w4、x5+y5+z5+ w5= v5となる自然数x, y, z, w, vは存在しない

と予想しました。
しかし1988年に26824404+153656394+187967604= 206156734、1966年に255+845+1105+ 1335= 1445を見つけ、オイラー予想が間違っていることを証明しました。このように反例を見つけることで、「予想が間違っている」と証明することもできます。

残念ながら、現在スーパーコンピューターを駆使してもこの反例は見つかっていません。数学はグラフや図、2進数や漸化式を使うことであっさり証明できてしまうことがあります。AIに証明される前に上手く発想の転換をして、人の手で証明してもらいたいですね。

（山梨市駅前校　R・G先生）

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