みなさん、はじめまして。今回は中2中3生に向けて、苦手な方も多い三角形の合同・相似証明について用いられる根拠を一通りまとめてみました。

 

 

 

　　①仮定

　　②共通な辺

　　③中点で分けられた辺同士

　　④特別な図形がらみ

　

 

　辺については、分かりにくくはないと思います。仮定に書いてある問題が多いので、しっかり確認しましょう。

 

 

 

　　 ①仮定

　　②対頂角

　　③平行線の錯角、同位角

　　④共通な角

　　⑤特別な図形がらみ

　

　一方で、角は見つけ辛いです。①から⑤のように、一発で証明したい三角形の角同士を結び付けられるのもあれば、

中継地点となる角∠Cを用いて、

　○○なので∠A＝∠C ,□□なので∠B＝∠C ,よって∠A＝∠B　

といったものまであります。

 

 

　二等辺三角形、正三角形、平行四辺形、長方形、ひし形、正方形

 

　定義と性質は自分でまとめてみるのもよいと思います。根拠として使う際は、どういう図形のなんていう性質を使ったか書けると、よい証明になりますね。（例、平行四辺形の対角は等しいので）

 

 

 

①90°引く戦法

 

直角三角形が示されていたり、

直角がほかの直角とずれていたりする問題で2つの角が等号で結べる戦法です。

中継地点∠Cを用いて、

　∠A＝90°－∠C,∠B＝90°－∠C　

よって∠A＝∠B　と表せます。

 

②円があった場合

 

　中３になると円周角の定理を学び、それらを活用する問題もあります。円を見かけた証明の場合は円周角の定理の適用を疑ってください。

 

③グラフ上での証明

 

　座標上で三角形を作ってその2つの三角形の合同・相似を証明させる問題もよく見かけます。特別な図形がからむ問題があれば、2直線に対して変化の割合が等しいから傾きが等しい、つまり平行線でその性質を使う、といった問題まであります。

 

最後にコツを３つほど紹介します。

 

　①等しい辺や角は絶対にマークする！！！

　仮定で言われたことや根拠をもって等しいと言えた辺や角は同じマークをつけましょう。これをつけておかないと、ひらめくこともひらめきませんよ…

 

　②合同・相似条件から逆算する

　大体3つほど等しい角や辺を言えれば証明できるものですが、2つほどで止まってしまうことがあると思います。そうした場合は「後はここが等しかったらこの条件が言えそうなんだけれどなあ…」と考えてみてください。そして、その辺や角同士が根拠をもって等しいと言えるかどうかを検討してみましょう。意外と、逆算して考える方法はこの三角形の合同・相似以外にも高校の数学の証明問題でも役に立ちます。

　

　③行き詰まったらだいたい角

　2や3で述べましたが、証明で行き詰ったら大体角です！（暴論気味）

しっかり同じところはマークをして、中継地点の角と結び付けられないかなあなどと考えてみてください。

　

　図形の証明問題は、山梨県の高校入試でも必ず出てくる問題です。それでなくとも、根拠を示して記述して解答する問題も入試では増加傾向にあります。普段から「なんでこれが成り立つのかな…」と公式や定理などの根っこの部分を考えながら日々学習に取り組めると、自然と対策になってきます。後は場数の問題でもあるのでたくさん演習して経験を重ねましょう。☆ミ

 

韮崎駅前校講師　Ｒ.Ｔ